Infiniti anelli dal nastro di Möbius

Qualche foglio di carta A4, un righello, una matita, un paio di forbici e una mezz'ora di tempo regalano un interessante momento con il Nastro di Möbius.
La procedura per costruirne uno vale anche come definizione:

• tagliate da un foglio di carta A4 una striscia per il lato lungo;
• portate i due bordi corti della striscia a combaciare, dopo aver impresso mezzo giro a uno dei due;
• unite i due bordi con della colla o del nastro adesivo.

La "cosa" che avete tra le mani non è più semplice carta, ma è un Nastro di Möbius.

Se fate scorrere un dito sulla superficie di carta nel senso della lunghezza, il dito passerà su entrambi i lati della carta. Il nastro, quindi, ha una sola faccia, e non due come ci si potrebbe aspettare.
Se avessimo invece impresso un giro intero alla striscia di carta, avremmo ottenuto un oggetto con due facce, che si chiama anello. Ed è così in generale: un numero dispari di mezzi giri dà un nastro (una sola faccia), un numero pari un anello (due facce).

A cosa serve il Nastro di Möbius

Il simbolo universale del riciclo è un nastro di Möbius:

È quindi probabile imbattercisi nel retro di una confezione alimentare.
Il nastro di Möbius trova anche degli utilizzi pratici, nei casi in cui si voglia aumentare la superficie utile di un nastro (es.: una cinghia di trasmissione, distribuendo l'usura sulle due facce). Lo dice Wikipedia, sarà certamente vero.
Quello che non dice Wikipedia, è che potete usarlo anche per far uscire di senno il prossimo.

Come impazzire con il Nastro di Möbius

Tagliare un nastro di Möbius per il senso della lunghezza regala risultati sorprendenti, a seconda della posizione del taglio.

Istruzioni:

• preparate un Nastro di Möbius;
• tagliate il nastro, nel senso della lunghezza, a metà della larghezza.

Viene fuori un anello.
Per convincersene basta posizionare il dito indice su un punto del nastro posto sulla parte esterna della metà sotto il taglio, e farlo scorrere. Arrivati al punto di incollaggio, il dito passa alla parte interna della metà sopra il taglio. Proseguendo ancora, tornati al punto di incollaggio, ci si ritrova al punto di partenza, dopo aver attraversato due mezze torsioni.
Il dito ha toccato senza discontinuità tutta la carta (quindi è un pezzo unico), ma non ha toccato le superfici interna inferiore ed esterna superiore, che quindi sono la seconda faccia dell'anello. L'anello ha una lunghezza pari al doppio della lunghezza del nastro iniziale.

E se taglio in due un anello?

In questo caso si hanno effettivamente due pezzi, della stessa forma dell'originale, della stessa lunghezza ma di altezza metà (per via del taglio) e intrecciati tra di loro.
La faccenda può essere iterata, tagliando a metà ciascuna delle due metà, moltiplicando in modo esponenziale il numero di anelli. Non è però così semplice andare oltre un secondo taglio, a causa dell'altezza del nastro che si dimezza via via, e del groviglio di strisce di carta generato.

Taglio del nastro di Möbius a un terzo dell'altezza

Cosa accade se si taglia il nastro di Möbius non a metà altezza ma più sotto, mettiamo a un terzo dell'altezza?

Partiamo dal punto del taglio e facciamo scorrere il dito lungo la parte esterna inferiore del taglio.
Arrivati al punto di incollaggio, il dito si trasferisce dopo una mezza torsione nella parte interna superiore, anch'essa alta un terzo. Dopo un po' ripassiamo all'altezza del taglio, ma siamo nel terzo superiore del nastro.
Continuando ancora, si ripassa dal punto di incollaggio dove, con una seconda mezza torsione, si torna alla parte esterna inferiore e quindi si raggiunge nuovamente il punto esatto da cui è partito il taglio.

Non dovrebbe essere difficile riconoscere che si è prodotto anche in questo caso un anello (due mezze torsioni e due facce), ma di altezza pari a un terzo dell'altezza originale.
Il resto della carta è la porzione centrale del nastro, che non ha subìto alterazioni, ed è quindi ancora un nastro di Möbius, ma di altezza un terzo.

Il taglio a un'altezza diversa da metà porta quindi a due oggetti, un nastro e un anello.
Ulteriori tagli a un terzo di altezza avranno quindi questi effetti:

• dal nastro di Möbius iniziale si ottiene ancora un nastro (lungo come l'originale, altezza un terzo) e un anello (lunghezza doppia dell'originale, altezza un terzo);
• dall'anello si ottengono invece due anelli della stessa lunghezza; l'altezza dei due anelli dipende da dove si effettua il taglio.

Qualche consiglio pratico

Per costruire i miei nastri di Möbius, sono partito dividendo due fogli A4 in due parti uguali da 10.5 cm per quasi 15 cm. Ho poi incollato le 4 strisce arrivando quindi a un nastro lungo quasi 60 cm e alto 10.5 cm.
Questo consente di effettuare almeno due giri di taglio, anche con altezza pari a un terzo. Dopo di che il garbuglio che si genera rende praticamente impossibile riconoscere correttamente gli anelli.

Prima di incollare il nastro di partenza ho marcato una faccia della striscia di carta con dei tratti a matita a intervalli regolari.
Questo consentirà poi di rendere più semplice riconoscere, almeno dopo il primo taglio, la natura di nastro o anello.